Reduction des Endomorphismes

Soit \(\mathbb{K}\) un corps.

Soit \(E\) un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel.

Soit \(u: E \rightarrow E\) un endomorphisme de \(E\).

Definition 1

Un sous-espace vectoriel \(F\) de \(E\) est dit stable par \(u\) si \(u(F)\subset F\).

Proposition 1

Si les endomorphismes \(u\) et \(v\) de \(E\) commutent, c'est a dire si \(u\circ v = v\circ u\) , alors \(Ker(v)\) et \(Im(v)\) sont stables par \(u\).

Proposition 2

Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par une famille \((e_i)_{i \in I}\), alors \(F\) est stable par \(u\) ssi: \[\forall i \in I\quad u(e_i) \in F.\]

Corollaire 3: traduction matricielle de la stabilité

Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\) de dimension \(p\) et \(\mathcal{B}=(e_1, ..., e_n)\) une base de E adaptée a \(F\), c'est a dire telle que \(\mathcal{B}' = (e_1, ..., e_p)\) soit une base de \(F\).

Alors \(F\) est stable par \(u\) ssi sa matrice dans la base \(\mathcal{B}\) est de la forme \(\begin{pmatrix}A & C\\0 & B\end{pmatrix}\), avec \(A\in \mathcal{M}_p(\mathbb{K})\).

Dans ce cas, \(A\) est la matrice dans la base \(\mathcal{B}'\) de l'endomorphisme induit \(u_F\).

Definition 3

  1. On dit que \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\) s'il existe un vecteur non nul \(x \in E\) tel que \(u(x) = \lambda x\), c'est a dire si l'endomorphisme \(u - \lambda Id_E\) est non injectif.
  2. On dit que \(x \in E\) est vecteur propre de \(u\) associee a la valeur propre \(\lambda\in\mathbb{K}\) s'il est non nul et vérifie \(u(x)=\lambda x\).
  3. Si \(\lambda \in \mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\), le sous-espace propre de \(u\) associé a la valeur propre \(\lambda\) est: \[E_\lambda (u)=Ker(u-\lambda Id_E)= \{x\in E : u(x)=\lambda x\}.\]

Definition 4

Le spectre d'un endomorphisme d'un espace de dimension finie est l'ensemble de ses valeurs propres.

Proposition 5

Si les endomorphismes \(u\) et \(v\) commutent, c'est a dire si \(u\circ v = v\circ u\), alors les sous-espaces propres de l'un sont stables par l'autre.

Proposition 6

  • Si \(\lambda_1, ..., \lambda_p\) sont des valeurs propres deux a deux deux distinctes de \(u\), alors les sous-espaces propres associés \(E_{\lambda_1}(u), ..., E_{\lambda_p}(u)\) sont en somme directe.
  • Toute famille de vecteurs propres associés a des valeurs propres deux a deux distinctes est libre.

Corollaire 7

Si \(E\) est de dimension finie et si \(\lambda_1, ..., \lambda_p\) sont des valeurs propres deux a deux distinctes de \(u\), alors: \[ \sum_{i=1}^{p}{dim(E_{\lambda_i} (u))} \leq dim(E) \]

Corollaire 8

Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension \(n\) a au plus \(n\) valeurs propres distinctes.

Proposition 9

Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\), les valeurs propres de l'endomorphisme \(u_F\) induit par \(u\) sur \(F\) sont les valeurs propres \(\lambda\) telles que \(E_\lambda(u)\cap F \neq \{0\}\). On a alors: \[E_\lambda(u_F) = E_\lambda(u)\cap F.\]

Proposition 10

Si \(f\) est un endomorphisme de \(E\) et si \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) sont deux bases de \(E\), alors les matrices \(M\) et \(M'\) de \(f\) respectivement dans les bases \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) sont reliés par: \[M' = P^{-1}MP,\] ou \(P\) est la matrice de passage de \(\mathcal{B}\) a \(\mathcal{B}'\).

Definition 5

Deux matrices \(A\) et \(B\) sont semblables s'il existe \(P\in GL_n(\mathbb{K})\) telle que \(B=P^{-1}AP\).

Proposition 11

Deux matrices \(M\) et \(M'\) de \(\mathcal{M}_n (\mathbb{K})\) sont semblables ssi elles representent le meme endomorphisme de \(\mathbb{K}^n\), c'est a dire s'il existe \(\mathcal{B}\) et \(\mathcal{B}'\) deux bases de \(\mathbb{K}^n\) et \(f\in \mathcal{L}(\mathbb{K}^n)\) telles que:

\[ M=Mat_{\mathcal{B}}(f) \quad et \quad M'=Mat_{\mathcal{B}'}(f). \]

Proposition 12

Deux matrices semblables ont meme trace et meme determinant.

Definition 6

Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\)

  1. On dit que \(\lambda\in\mathbb{K}\) est valeur propre de \(A\) s'il existe une matrice colonne \(X\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) non nulle telle que \(AX=\lambda X\).
  2. On dit que la matrice colonne \(X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\) est vecteur propre de \(A\) associée a la valeur propre \(\lambda\in\mathbb{K}\) si elle est non nulle et vérifie \(AX=\lambda X\).
  3. Si \(\lambda\in\mathbb{K}\) est valeur propre de \(A\), le sous-espace propre de \(A\) associée a la valeur propre \(\lambda\) est: \[E_\lambda (A)=Ker(A-\lambda I_n)= \{X\in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K}): AX=\lambda X\}.\]
  4. L'ensemble des valeurs propres de \(A\) est appelé le spectre de \(A\) et noté \(sp(A)\).

Proposition 13

Soit \(A\) une matrice représentant l'endomorphisme \(u\) dans une base \((e_1, ..., e_n)\). On a alors \(sp(A)=sp(u)\) et, pour tout \(\lambda\in sp(u)\): \[ x = \sum_{i=1}^{n}{x_i e_i} \in E_\lambda (u) \iff X= \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \\ \end{bmatrix} \in E_\lambda (A). \]

Corollaire 14

Deux matrices semblables ont meme spectre et les sous-espaces propres associés sont de meme dimension.

Proposition 15

Soit \(\mathbb{K}'\) un sous-corps du corps \(\mathbb{K}\) et \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K}')\). Alors

\[sp_{\mathbb{K}'}(A) \subseteq sp_{\mathbb{K}}(A)\]

Proposition 16

Soit \(A\in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Si \(\lambda\in sp_\mathbb{C}(A)\) , alors \(\overline\lambda\) est valeur propre de \(A\) et:

\[ X\in E_\lambda (A) \iff \overline X \in E_{\overline\lambda}(A). \]

Si \((X_1, ..., X_k)\) est une base de \( E_\lambda (A) \) alors \((\overline X_1, ..., \overline X_k)\) est une base de \( E_\overline\lambda (A) \) donc \(dim(E_\lambda (A))=dim(E_\overline\lambda (A))\).

Definition 7

Soit \(u\in\mathcal{L}(E)\) et \(P=\sum_{k=0}^{p}{a_k X^k} \in\mathbb{K}[X]\).

On note \(P(u)\) l'endomorphisme de \(E\) defini par:

\[ P(u) = \sum_{k=0}^{p}{a_k u^k} . \]

Pour \(A\in \mathcal{M}_n (\mathbb{K})\), on definit de meme la matrice \(P(A)\in\mathcal{M}_n (\mathbb{K})\) par:

\[ P(A) = \sum_{k=0}^{p}{a_k A^k} . \]

Proposition 17

Pour tout \((P, Q)\in\mathbb{K}[X]^2\), les endomorphismes \(P(u)\) et \(Q(u)\) commutent. En particulier, pour tout \(P\in\mathbb{K}[X]\), \(Im(u)\) et \(Ker(u)\) sont des sous-espaces stables par \(u\).

Proposition 18

  1. Si \(x\in E_\lambda (u)\) et si \(P\in\mathbb{K}[X]\) alors \(P(u)(x) = P(\lambda) x\).
  2. En particulier, si \(\lambda\) est valeur propre de \(u\), alors \(P(\lambda)\) est valeur propre de \(P(u)\) et tout vecteur propre de \(u\) associé a la valeur propre \(\lambda\) est vecteur propre de \(P(u)\) associé la valeur propre \(P(\lambda)\).

Corollaire 19

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

  1. Si \(X\in E_\lambda(A)\) et si \(P\in \mathbb{K}[X]\) alors \(P(A)X=P(\lambda)X\).
  2. En particulier, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(P(\lambda)\) est valeur propre de \(P(A)\) et tout vecteur propre de \(A\) associé a la valeur propre \(\lambda\) est vecteur propre de \(P(A)\) associé la valeur propre \(P(\lambda)\).

Definition 8

On dit que \(P\in\mathbb{K}[X]\) est un polynome annulateur de \(u\), s'il vérifie \(P(u)=0\).

On dit que \(P\in\mathbb{K}[X]\) est un polynome annulateur de \(A\), s'il vérifie \(P(A)=0\).

Proposition 20

Si \(P\) est un polynome annulateur de \(u\in\mathcal{L}(E)\), alors toute valeur propre de \(u\) est racine de \(P\).

Corollaire 21

Si \(P\) est un polynome annulateur de \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), alors toute valeur propre de \(A\) est racine de \(P\).

Corollaire 22

Si \(P\) est un polynome annulateur de \(u\) tel que \(P(0)\neq 0\) et si \(E\) est de dimension finie, alors \(u\) est bijectif.

Corollaire 23

Si \(P\) est un polynome annulateur de \(A\) et si \(P(0)\neq 0\), alors \(A\) est inversible.

Definition 9

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\). On appelle polynome caracteristique de \(A\) et on note \(\chi_A(X)\) l'unique polynome tel que:

\[ \forall \lambda \in \mathbb{C} \quad \chi_A(\lambda) = det(\lambda I_n - A). \]

On note alors \(\chi_A(X)=det(XI_n-A)\).

Theoreme 24

\(\lambda\in\mathbb{K}\) est valeur propre de \(A\) si et seulement s'il est racine du polynome caracteristique de \(A\).

Proposition 25

Si \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est triangulaire de diagonale \((\alpha_1, ..., \alpha_n)\), alors son polynome caracteristique est: \(\prod_{k=1}^{n}{(X-\alpha_k)}\) et \(sp(A)=\{\alpha_1,...,\alpha_n\}\).

Corollaire 26

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{k})\).

  • Si \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\), alors \(A\) a au moins une valeur propre.
  • Si \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) et si \(n\) est impair, alors \(A\) a au moins une valeur propre.

Proposition 27

Soit \(A\in\mathcal{M}_n(K)\). Son polynome caracteristique \(\chi_A\) est un polynome unitaire de degré \(n\) et l'on a :

\[ \chi_A(X) = X^n - (Tr(A))X^{n-1} + ... + (-1)^ndet(A). \]

Lemme 28

Deux matrices semblables ont meme polynome caracteristique.

Définition 10

On appelle polynome caractéristique de l'endomorphisme \(u\) et l'on note \(\chi_u\), le polynome caractéristique de toute matrice représentant \(u\).

On a donc, pour tout scalaire \(\lambda\), \(\chi_u(\lambda)=det(\lambda Id_E - u)\).

Proposition 29

Le polynome caracteristique \(\chi_u\) est unitaire de degré \(n\) et l'on a :

\[ \chi_u(X) = X^n - (Tr(u))X^{n-1} + ... + (-1)^ndet(u). \]

Theoreme 30

\(\lambda\in\mathbb{K}\) est valeur propre de \(u\) si et seulement s'il est racine du polynome caracteristique de \(u\).

Corollaire 31

  • Si \(\mathbb{K}=\mathbb{C}\), alors \(u\) a au moins une valeur propre.
  • Si \(\mathbb{K}=\mathbb{R}\) et si \(n\) est impair, alors \(u\) a au moins une valeur propre.

Proposition 32

Si \(F\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\), alors le polynome caracteristique \(\chi_{u_F}\) de l'endomorphisme induit par \(u\) sur \(F\) divise \(\chi_u\).

Proposition 33

Si le polynome caracteristique de \(u\) est scindé (respectivement scindé a racines simples), alors celui de l'endomorphisme induit par \(u\) sur tout sous-espace vectoriel de \(E\) stable par \(u\) l'est aussi.

Definition 11

On appelle ordre de multiplicité d'une valeur propre \(\lambda\) de \(u\) (respectivement de \(A\)), son ordre de multiplicité en tant que racine du polynome caractéristique de \(u\) (respectivement de \(A\)). On le note \(m(\lambda)\).

Proposition 34

Pour tout \(\lambda \in sp(u)\), on a:

\[ 1 \leq dim(E_\lambda(u)) \leq m(\lambda). \]